Ein Schüler spielt ein Computerspiel und muss ein Glücksrad mit 10 Feldern drehen. Die Gewinnchance beträgt 1 zu 10 pro Dreh. Seine Frage: Wenn er neun Mal verloren hat, muss er doch endlich gewinnen? Nein, erkläre ich ihm. Das Rad hat kein Gedächtnis. Jeder Dreh ist unabhängig. Die Chance für den nächsten Dreh bleibt bei 1 zu 10.
Er nickt. Dann sagt er den entscheidenden Satz: "Das habe ich verstanden, aber es ist kontraintuitiv."
Genau dieser Satz ist das Thema. Statistiken werden missverstanden, weil das menschliche Gehirn Zufall und Wahrscheinlichkeit auf eine Weise verarbeitet, die dem tatsächlichen mathematischen Verhalten widerspricht. Diese Art der Verarbeitung lässt sich nicht abstellen, indem man die richtige Antwort einmal hört. Sie bleibt kontraintuitiv.
Was passiert am Glücksrad
Der Schüler unterliegt dem Spielerfehlschluss. Das ist die Annahme, ein zufälliger Prozess habe ein Gedächtnis und müsse sich "ausgleichen". Nach neun Verlusten muss doch mal ein Gewinn kommen, sagt einem das Bauchgefühl. Das Rad sieht das anders.
Hier werden zwei verschiedene Fragen vermischt.
Erste Frage: Steigt meine Chance bei diesem einen Dreh? Die Antwort ist Nein. Sie bleibt 1 zu 10, egal wie oft vorher gedreht wurde.
Zweite Frage: Steigt meine Chance, in zehn Drehs mindestens einmal zu gewinnen? Die Antwort ist Ja, auf etwa 65 Prozent. Die Rechnung dahinter ist: Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Dreh zu verlieren, liegt bei 9 zu 10. Die Chance, zehnmal hintereinander zu verlieren, ist das Produkt aus zehn solcher Einzeldrehs: 9 zu 10 hoch 10. Das ergibt rund 35 Prozent. Mindestens ein Gewinn ist das Gegenstück dazu, also die restlichen 65 Prozent.
Beide Antworten sind mathematisch korrekt. Sie beantworten nur verschiedene Fragen. Das Bauchgefühl wirft sie zusammen, und daraus entsteht die Verwirrung. Der Schüler hat recht: Es bleibt kontraintuitiv, auch wenn man es verstanden hat.
Eine unbequeme Beobachtung
Was für einen Schüler gilt, gilt auch für uns Erwachsene. Forscher haben vielfach nachgewiesen, dass Menschen sich mit Statistiken, Wahrscheinlichkeiten und Relationen schwertun. Was mich beim Lesen der Studien verblüfft hat, ist, dass die Bildung von Fehlinterpretationen nicht schützt.
Das Gehirn übersieht den Nenner. Das ist der wichtigste Mechanismus, und er hat einen Namen: Denominator Neglect. Menschen konzentrieren sich auf den Zähler eines Verhältnisses und vernachlässigen den Nenner.
Denes-Raj und Epstein zeigten 1994 empirisch, wie stark der Effekt ist.
Die Teilnehmer bekamen die Wahl zwischen zwei Schüsseln mit roten und weißen Jelly Beans. Aus einer durften sie mit geschlossenen Augen eines herausnehmen. Zogen sie ein rotes, gewannen sie einen Dollar. Bei einem weißen gingen sie leer aus. Sie sahen vorher, dass Schüssel A 100 Jelly Beans, davon 9 rote enthielt. In Schüssel B lagen 10 Jelly Beans, davon 1 rotes.
Rechnerisch ist Schüssel B die bessere Wahl. 9 von 100 sind 9 Prozent Gewinnchance, 1 von 10 sind 10 Prozent. Trotzdem wählten 61 Prozent der Teilnehmer in der Studie Schüssel A. Auf die Nachfrage, warum, antworteten sie sinngemäß: "Bei Schüssel A habe ich neun Chancen zu gewinnen, bei Schüssel B nur eine." Die Aussage ist korrekt, aber nicht vollständig. Sie berücksichtigt nicht, was auf der anderen Seite steht: die weißen Jelly Beans. In Schüssel A müssen sich die 9 roten gegen 91 weiße durchsetzen. In Schüssel B ist das eine rote von 9 weißen umgeben.
Bemerkenswert ist die Selbstauskunft der Teilnehmer. Sie berichteten, dass sie zwar wussten, dass die Wahrscheinlichkeit gegen sie stand, sich aber trotzdem so fühlten, als hätten sie in der größeren Schüssel bessere Chancen. Die Intuition setzte sich gegen das Wissen durch.
Der Grund liegt tief und erklärt zudem viele andere Phänomene. Konkrete Anzahlen werden vom Menschen direkt erlebt. Der Zähler ist die greifbare Menge, die man sich vorstellen kann. Ein Verhältnis dagegen ist abstrakt und muss errechnet werden. Das schnelle, intuitive Denksystem greift zur anschaulichen Anzahl und überspringt das abstrakte Verhältnis. Deshalb wirkt "100 Fälle" gefühlt bedrohlicher als "0,1 Prozent", obwohl beide dasselbe meinen können.
Bildung schützt nicht
Hier ist der entscheidende Punkt. Diese Schwächen verschwinden nicht mit dem Bildungsgrad. Der Denominator Neglect findet sich bei Laien und Experten gleichermaßen und lässt sich nicht durch einfaches Üben abstellen.
Den überzeugendsten Beleg liefert die Forschung über medizinische Statistiken. Das Ergebnis hat mich erschüttert und geht mir seitdem nicht aus dem Kopf. Gerd Gigerenzer stellte 160 erfahrenen Frauenärzten eine Frage aus ihrem eigenen Fachgebiet. Der Forscher formulierte sie in klarer Alltagssprache und stellte die Fachbegriffe nur in Klammern dahinter:
Angenommen, Sie führen ein Brustkrebs-Screening mit Mammographie durch. Über die Frauen in Ihrer Region wissen Sie:
- Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau Brustkrebs hat, liegt bei 1 Prozent (Prävalenz).
- Wenn eine Frau Brustkrebs hat, liegt die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, bei 90 Prozent (Sensitivität).
- Wenn eine Frau keinen Brustkrebs hat, liegt die Wahrscheinlichkeit, dass der Test trotzdem positiv ausfällt, bei 9 Prozent (Falsch-Positiv-Rate).
Eine Frau erhält einen positiven Befund. Sie möchte von Ihnen wissen, ob das bedeutet, dass sie definitiv Brustkrebs hat, oder wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist. Wie lautet die beste Antwort?
Die Ärzte mussten nicht selbst rechnen. Sie bekamen vier Optionen zur Auswahl:
- Die Wahrscheinlichkeit liegt bei etwa 81 Prozent.
- 9 von 10 Frauen mit positivem Befund haben Brustkrebs.
- 1 von 10 Frauen mit positivem Befund hat Brustkrebs.
- Die Wahrscheinlichkeit liegt bei etwa 1 Prozent.
Die richtige Antwort ist "1 von 10". Sie stand als Option direkt zur Auswahl. Die Ärzte mussten sie nur ankreuzen. Sie taten es mehrheitlich nicht. Die mit Abstand häufigste Wahl fiel auf "9 von 10", das Neunfache der Realität. Die Schätzungen streuten über die gesamte Skala, von 1 bis 90 Prozent.
Und der Fehler, den sie machten, ist bemerkenswert. Sie beantworteten die falsche Frage.
Sie wurden gefragt: Wie wahrscheinlich ist Krebs, wenn der Test positiv ist? Ihre häufigste Antwort, 9 von 10, beantwortet aber eine andere Frage. Nämlich: Wie wahrscheinlich ist ein positiver Test, wenn Krebs vorliegt? Beide Fragen klingen auf den ersten Blick ähnlich, unterscheiden sich aber massiv. Die eine geht vom Testergebnis zur Krankheit, die andere von der Krankheit zum Testergebnis. Die Differenz ist Faktor zehn und trifft auf eine Frau, die wissen will, ob sie krank ist. Wer ihr sagt, die Wahrscheinlichkeit liege bei 90 Prozent, schickt sie in Wochen der Angst, die statistisch nicht gerechtfertigt sind. Neun von zehn Frauen mit positivem Befund haben keinen Krebs. Aber sie erfahren es erst nach Zusatzuntersuchungen, die wochenlang dauern können.
Die Zahlen in der Studie waren didaktisch vereinfacht. In der Realität liegt der Anteil der Krebsfälle unter allen positiven Befunden bei 15 bis 18 Prozent. Damit bleibt 1 von 10 auch bei echten Zahlen die beste Option.
Hohe Bildung bedeutet tiefes Fachwissen. Statistische Lesekompetenz gehört selten mit dazu, weil sie in den meisten Fächern schlicht nie trainiert wird.
Die Lösung liegt im Format
Menschen sind nicht hoffnungslos schlecht mit Statistik. Sie sind schlecht mit dem abstrakten Anteilsformat. Dieselbe Information im richtigen Format wird lesbar.
In derselben Gigerenzer-Studie lösten sich die Fehlurteile der meisten Frauenärzte auf, nachdem man ihnen beigebracht hatte, bedingte Wahrscheinlichkeiten in natürliche Häufigkeiten zu übersetzen. Statt der abstrakten Formulierung "1 Prozent Grundrate, 90 Prozent Sensitivität, 9 Prozent Fehlalarm" die konkrete Umschreibung:
- Von 1000 Frauen haben 10 Krebs.
- Von diesen 10 werden 9 vom Test korrekt erkannt.
- Von den 990 gesunden Frauen schlagen 89 fälschlich beim Test an.
Insgesamt gibt es 98 positive Testergebnisse, aber nur 9 davon sind Krebsfälle. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein positives Ergebnis Krebs bedeutet, liegt bei 9 von 98. Das sind knapp 10 Prozent.
Jetzt kann man es abzählen. Natürliche Häufigkeiten entsprechen der Art, wie Menschen Information seit jeher verarbeiten. Das Teilen durch den Nenner ist genau der Schritt, den das Gehirn nicht gern geht.
Mit einem neuen Format fanden 87 Prozent die richtige Antwort. Bemerkenswert bleibt der Rest: 13 Prozent, rund 20 der 160 Ärzte, kamen selbst nach der Umformulierung nicht auf die korrekte Antwort.
Und dann noch die Sprache
Selbst wenn die Fragen sauber getrennt und beantwortet sind, bleibt eine dritte Ebene: die Sprache.
1977 gab das US-Verteidigungsministerium 23 erfahrenen NATO-Offizieren einen Testauftrag. Sie bekamen Aussagen über eine mögliche sowjetische Invasion in der Tschechoslowakei vorgelegt. In jedem Satz stand einer der üblichen Wahrscheinlichkeitsbegriffe, etwa "wahrscheinlich" oder "möglicherweise". Die Aufgabe: Übersetzen Sie den Begriff in eine Prozentzahl. Wie sicher sind Sie, dass das Ereignis eintritt?
Die Antworten fielen weit auseinander. Der Ausdruck "höchstwahrscheinlich" wurde von manchen als 60 Prozent Sicherheit verstanden, von anderen als 90 Prozent. Beim Wort "wahrscheinlich" reichten die Antworten von 40 bis 95 Prozent. "Wir bezweifeln" überlappte mit "wahrscheinlich". Erfahrene Offiziere, geschult im Lesen von Berichten, verstanden dieselben Wörter grundverschieden.
Eine Replikation aus dem Jahr 2018 zeigte dasselbe Bild. "Reale Möglichkeit" wurde zwischen 20 und 80 Prozent verortet. Selbst bei "unmöglich" gab es Menschen, die dem Wort 5 Prozent zuschrieben. Für die meisten Begriffe liegen die Interpretationen 30 bis 40 Prozentpunkte auseinander.
Wenn zwei Vorstände denselben Bericht lesen und einer versteht unter "wahrscheinlich" 60 Prozent, der andere 90 Prozent, entscheiden sie auf unterschiedlicher Basis.
Was das für Entscheidungen in der Unternehmensrealität bedeutet
Auf dem Tisch liegt eine Entscheidungsvorlage zu einem KI-Vorhaben im Kundenservice. Ein Anbieter präsentiert sein System zur automatischen Anfrage-Klassifikation. Die Kennzahl in großer Schrift: 95 Prozent Genauigkeit. Klingt solide.
In natürlichen Häufigkeiten heißt es: Bei einer Million Kundenanfragen pro Jahr sind es 50.000 falsch behandelte Anfragen. 50.000 Kunden, deren Anliegen nicht verstanden wird, und die eine unpassende Auskunft bekommen. Derselbe Fakt, zwei Wahrnehmungen. Das Prozentformat beruhigt, das Häufigkeitsformat alarmiert. Und ermöglicht eine ehrliche Gegenüberstellung von Anzahl der Fehler und ihrer Konsequenzen, Ressourcen zur Fehlerbereinigung und Vorteilen der Lösung.
Probieren Sie es selbst aus. Wenn Ihnen das nächste Mal eine Prozentangabe auf den Tisch kommt, übersetzen Sie sie in handfeste Zahlen. Wie viele Menschen, Vorgänge oder Fälle sind das absolut? Wie wirkt diese Zahl auf Sie?